Knallbunt

Das Fenster zur Welt sieht nicht einfarbig, sondern detektiert immer sehr, sehr viele verschiedene Photonen mit unterschiedlichen Energien gleichzeitig. Bevor wir direkt sehr, sehr viele Farben betrachten, machen wir die Induktion von einer Farbe auf zwei Farben, danach ist es ja trivial.

Nachdem wir verstanden haben, wie sich zwei »Farben« in der Normfarbtafel darstellen, kommen wir noch zu nicht monochromatischem Licht, speziell zu dem Licht, welches in Monitoren verbaut ist, um einen Anwendungsfall zu zeigen.

Wow! Das ist mal ein knalliges Grün! Leider falsch, das sind 16 verschiedene Grüntöne, die sich jeweils nur um eine Stelle im #RGB-Wert unterscheiden. Die maximale Abweichung von Reingrün mit #00FF00 ist die Kachel mit #03FF03.

Für mich mit meinem ollen Laptop ist das einfach eine grüne Fläche. Ich erahne einen leichten Unterschied in Spalte 2 / Zeile 3, vielleicht habe ich auch einfach den Bildschirm nicht gut geputzt. Also 8 Bit pro Farbkanal reichen um Farben gut genug aufzulösen. Viel wichtiger ist jedoch, dass wir für mindestens 15 von diesen 16 grünen Kacheln mehr als eine Farbe brauchen, um diese darzustellen. Je nach Monitor wird auch schon bei #00FF00 nicht nur die grüne LED, oder was auch immer die Farbe erzeugt, leuchten. Außerdem ist eine LED auch alles andere als monochromatisch. Quantendots können das deutlich besser, sind aber auch nicht perfekt.

Zum Inhalt dieses Artikels. Erst basteln wir uns die Theorie zusammen, wie sich zwei monochromatische Farben in der Normfarbtafelkombinieren und dann schauen wir uns nicht-monochromatische Lichtquellen an.

Kurzes Recap des letzten Articles

Im Auge sind drei verschiedene Zapfetypen: L, M, S. Die M- und L-Zapfenüberlappen sich stark.
Wir wollen die drei Dimensionen der Zapfen transformieren mit:
(L, M, S) → (X, Y, Z) → (x, y). (x, y) ist das Koordinatensystem, in dem die Normfarbtafellebt.
Y-Achse: Auf Flimmerphotometrieversuchen kann man lernen, dass die empfundene Helligkeit durch eine Überlagerung der Erregung von M- und L-Zapfen entsteht.
Z-Achse: Da die spektrale Empfindlichkeit des S-Zapfen von den beiden anderen separiert ist, kann durch diese die Blauempfindung beschrieben werden.
X-Achse: Hierfür gibt es keine physiologischen Messungen, also wird geschätzt. Die x-Achse soll tangential an der Spektralfarblinie anliegen und die umschlossene Fläche maximieren.
Projektion auf zwei Dimensionen x und y

Als Resultat haben wir eine Matrix A, die uns den Zapfenvektor (L, M, S) ins (X, Y, Z) Koordinatensystem umrechnet. Mit einer einfachen Rechenvorschrift können wir dann die Ausgabe in den gewünschten (x, y)-Werten ausgeben. Damit haben wir dann einen Punkt, hoffentlich innerhalb der Spektralfarblinie.

Mehr als eine Wellenlänge

Jetzt wird es spannend! Wie bekommen wir überhaupt (L, M, S)? Schauen wir uns nochmal die spektrale Empfindlichkeit der Zapfen an.

In den beiden vorhergehenden Artikeln haben wir folgende Aktionen getätigt:

Eine Wellenlänge herausgesucht. Für die Anschaulichkeit nehmen wir mal 500 nm.
Wir haben dann in den jeweiligen Zeile, die der Wellenlänge von 500 nm entspricht, die Erregung der L-, M- und S-Zapfen herausgesucht. Für dieses Beispiel (L, M, S) = (0.28896; 0.42776; 0.12284). Bei einer Lichtintensität von 1 (egal welche Einheit) lässt z.B. der »Filter« vor dem der blauen Zapfen 12,284% des Lichtes durch.
Wenn wir dieses Lichtsignal mit der Matrix A aus dem letzten Artikel multiplizieren, (X, Y, Z) = A∙(L, M, S) erhalten wir den Wert im XYZ-Koordinatensystem, also (X, Y, Z)@500nm = (0,0001; 0,3484; 0.2377 )
Um den Punkt auf der Normfarbtafeldarzustellen, rechnen wir x = X/(X+Y+Z) und y = Y/(X+Y+Z), was uns (x; y) = (0,0001; 0,5943) liefert.

Klar?

Für zwei Farben wird es nicht deutlich komplizierter. Wir müssen uns nur vorher klar werden, welche Farben wir wie stark mischen. Als Beispiel nehmen wir

Blau bei 450 nm → 🟦 = (0,0498; 0,0871; 0,9554)
Grün bei 550 nm → 🟩 = (0,9451; 0,973; 0,0018)

Wenn diese gemischt werden, sehen unsere Zapfen

½ 🟦 + ½ 🟩 = (0,4975; 0,5301; 0,4787)

Das muss noch ins xy-Koordinatensystem umgerechnet werden:

(x; y) = (0,2074; 0,2874)

Nach akuter Fancymachung bekommen wir dann sogar eine Line mit den entsprechenden Mischungen zwischen Grün und Blau von 0% bis 100% Grün.

Noice!

Purpurgerade

Das Offensichtliche! Das Hufeisen, welches wir nun seit zwei Artikeln versuchen herzuleiten hat einen derben Mangel. Es ist unten offen! Genau zwischen Rot und Blau klafft eine riesige Lücke. Jetzt wo wir zwei Farben mischen können, haben wir alles in der Hand um dieses Problemchen endlich zu lösen.

Dazu müssen wir einfach die beiden Wellenlängen richtig wählen mit Blau = 390 nm und Rot = 700 nm. Damit die Linie schön dicht wird, setzen wir nicht neun Punkte, sondern 100. Fertig!

Die Füllung ist das Beste!

Ich bin faul, darum habe ich einfach sehr viele Zufallswerte generiert, die innerhalb dieses Hufeisens liegen und die Farben dazu berechnet. Dann bekommen wir die voll gefärbte Normalfarbtafel. Das schwarze Kreuz stellt den Energiegleichheitspunkt bei (1/3 1/3) dar.

Gerade bei diesen Farben muss man schon ein wenig aufpassen. Genau dein Monitor, ja deiner, kann nämlich gar nicht alle Farben, die das Auge sehen kann, darstellen. Dieses ganze gefärbte Hufeisen ist eine Veranschaulichung, damit solch dumme Lebewesen wie wir das Konzept der Farbe verstehen. Das Grün, welches ganz am Anfang dieses Kapitels und auch in der gerade erzeugten Abbildung an der ganz obersten Spitze zu sehen ist, liegt eigentlich im Inneren des Hufeisens bei ungefähr x=0,3 und y=0,6, dort wo der schwarze Kreis sitzt. Und warum das so ist, kommt jetzt.

Echte Lichtquellen, oder doch einfach nur LEDs

»Echte« Lichtquellen, was jetzt auch immer echt ist, haben von Natur aus mehr als nur eine, zwei oder drei Farben, sondern ein kontinuierliches Spektrum: Laser und irgendwelche abgefahrenen Atomstrahler (die guten alten Natriumdampflampen in Laternen) lassen wir jetzt mal raus. Hier geht's erstmal um LEDs. Thermische Strahler, wie Glühlampen oder die Sonne heben wir uns für später auf!

Diese Lichtquellen zeichnen sich dadurch aus, dass sie in einem schmalen oder breiten spektralen Bereich Licht abgeben, also jede Farbe in diesem Bereich emittieren. Jedes Photon hat natürlich seine eigene Energie, eine Haushaltsglühlampe gibt davon aber 10¹⁹ pro Sekunde ab. Das reicht für ein wenig Statistik.

Ich habe mal die Emissionsspektren für verschiedene LEDs herausgesucht und in der nächsten Abbildung geplottet. Die Farben der Spektren sind selbsterklärend, die Intensitäten sind aber auf 1 normiert, damit es einheitlicher aussieht. Bei der Suche ist mir aufgefallen, dass für einige Farben die Auswahl sehr beschränkt ist.

Genau wie für zwei Farben, machen wir die Rechnung für das auf 1 nm aufgelöste Spektrum, halt für 311 Farben (700 nm - 390 nm).

Diese können wir dann einfach wieder ins xy-Diagramm eintragen.

Was wir beim Anschauen schon lernen ist, dass die spektrale Breite und die Farbe einen Einfluss auf den Abstand zur Kante des Hufeisens hat:

Je breiter das Spektrum der Lichtquelle ist, desto weiter wandert die empfundene Farbe in die Mitte der Normalfarbtafel.
Im Grünen ist die Spektralfarblinie stark gekrümmt. Dort hat die spektrale Breite eine Lichtquelle den größten Einfluss.

Eine Farbe ist nicht eindeutig

Viele Farben in der Normfarbtafelkönnen durch verschiedene Farbkombinationen »hergestellt« werden. Im nächsten Beispiel ziehen wir mal die Verbindungsgeraden zwischen den Koordinaten von Blau und Grün und zwischen den Koordinaten von Cyan und Gelb.

Diese Geraden schneiden sich. Das bedeutet also, diese Farbe können wir durch beide Farbkombinationen erzeugen:

27,8% Blau + 72,2% Grün
78,2% Cyan + 21,8% Gelb

Gerade die Kombination von Blau und Grün zeigt die großen Probleme der Darstellung der Normalfarbtafel.

Die Blau-Grün Linie wird zwar durch den Schnittpunkt mit der Cyan-Gelb Linie nahezu in der Mitte geteilt, das heißt jedoch nicht, dass beide Lichtquellen jeweils etwa die Hälfte der Lichtleistung abgeben müssen um diesen zu erzeugen. Da wir die Farbwerte durch die Summe X + Y + Z normieren, liegt der Mischpunkt der Farben nicht in der Mitte der der Strecke, sondern näher am Blau. So benötigt man zur Erzeugung dieser Farbe 72% der Gesamtleistung für das grüne Licht.

Das zweite große Problem ist, dass die Abstände auf der Normfarbtafel nicht mit der Farbunterscheidbarkeit zusammenhängen. Während im gelben Bereich ein Schritt von 0,1 egal in welche Richtung von der Farbe, einen riesigen Unterschied macht, können wir einen Schritt von 0,1 im Grünen kaum, wenn überhaupt, unterscheiden. Die Normfarbtafel also zeigt nicht, wie gut wir Farben unterscheiden können und der riesige grüne Bereich bedeutet nicht, dass wir dort besonders gut nuancieren können.