Transformation des Auges

Ich habe im letzten Artikel über das Auge große Versprechungen gemacht, welche Themen ich als nächstes behandeln werde. Ein Plan ist erst ein guter, wenn er umgeworfen wird und wenn es Sinn macht einen Zwischenschritt zum besseren Verständnis einzufügen. Dieser Zwischenschritt ist meiner Meinung nach zwingend, um die versprochenen Themen zu verstehen.

Artikeländerungen

13.09.2026: Das Kapitel Ebenen und Basisvektoren wurde hinzugefügt, da die Transformation LMS → xy nicht sehr intuitiv war. Mit dem neuen Kapitel ist diese Transformation zumindest erkennbar und wird mit einem Beispiel illustriert. Die Mathematik dahinter ist nach wie vor nicht für alle verständlich. Da ich kein Mathelehrer bin, halte ich das auch nicht unbedingt für nötig.

14.09.2026: Es wurden einige Artikelverbesserungen zu den Themen Normierung und Duale Basis eingefügt. Beim Thema Normierung fehlte jedoch eine intuitive Beschreibung. Das Thema Dualen Basis wurde benannt, kurz beschrieben und ein Link für Interessierte eingefügt.

Erinnern wir uns kurz an die CIE Normfarbtafel. Diese zeigt alle Farben, die das menschliche Auge wahrnehmen kann in einem bogenartigen Verlauf:

• Innerhalb dieser Struktur wird ein Dreieck dargestellt, welches ungefähr dem sRGB-Farbraum entspricht. Die außerhalb dieses Dreiecks dargestellten Farben können von keinem consumer Bildschirm dargestellt werden und dienen in dieser Abbildung nur der Illustration.
• Außerhalb dieser Struktur ist eine graue Fläche, die lapidar mit „Theoretische Farben” gekennzeichnet ist. Diese Farben können von keinem menschlichen Auge wahrgenommen werden.

In diesem Artikel will ich versuchen zu erklären, wie genau diese rote Linie, namens Spektralfarblinie, berechnet wird und wie diese beeinflusst werden kann.

Veröffentlicht von Torge Anders unter CC BY-SA 3.0

Das Koordinatensystem

Der bunte Blob hängt ja nicht im luftleeren Raum, er hängt in einem zweidimensionalem Koordinatensystem, beide Werte jeweils zwischen 0 und 1; zumindest in dieser bekannten Darstellung. Die beiden Achsen werden mit x und y bezeichnet. Zu einem z und einem Z kommen wir auch noch, wenn auch nur kurz.

Grundlage sind die Zapfenempfindlichkeiten der S-,M- und L-Zapfen.

In der Normfarbtafel sind die Farben in zwei Dimensionen plus einer nicht dargestellten Helligkeitsdimension codiert, während die Farben und Helligkeit über die Zapfenaktivierung fast vollständig gemischt sind. Zum Einstieg zeige ich euch hier mal die Aktivierung der Zapfen, wenn man »monochromatisches«, also einfarbiges Licht mit verschiedenen Intensitäten ins Auge strahlt. Die Farbwahl ist selbsterklärend.

Die Punktwolke zeigt eine stark gebogene Fläche mit einer starken Ausprägung entlang der S-M-Ebene und einer starken Ausprägung entlang der M-L-Ebene. Der Knick der Fläche liegt sehr nahe an der M-Achse und trennt die Farbe Blau von den anderen Farben.

Hier bitte beachten, ich habe zur Berechnung die auf eins normierten Zapfenempfindlichkeiten aus dem obigen Diagramm genommen. Die richtige Skalierung berechnen wir in den nächsten Schritten.

Hell-Dunkel = Y

Aus dem ersten Artikel wissen wir, dass der Helligkeitsreiz durch die gleichzeitige Aktivierung der M- und L-Zapfen erzeugt wird. Diese Helligkeit wird nun mit Y bezeichnet. Vereinfacht hatten wir damals gesagt, dass Helligkeit = M + L ist. Beim Y ist das nicht ganz so einfach; aber fast.

Dass das so ist kann man sehr gut erkennen, wenn man die Punktwolke so dreht, dass man genau entlang der S-Achse darauf schaut. Mit dieser Perspektive fällt auf, dass sich alle Farbkleckse in einer Keulenform tummeln, die vom Ursprung des Koordinatensystems fast diagonal in M-L-Richtung verläuft. Das passt zur Annahme, dass das Helligkeitsempfinden durch die Aktivierung der M- und L- Zapfen erzeugt wird.

Der wahrgenommene Helligkeitsreiz kann experimentell durch ein Flimmerphotometer bestimmt werden. Vereinfacht beschrieben, wird eine Fläche mit zwei verschiedenen Lichtern abwechselnd beleuchtet. Daher kommt der Name Flimmer. Die Helligkeit der zu untersuchenden Farbe wird so reguliert, dass sich nur noch der Farbreiz ändert, aber kein Helligkeitsunterschied festgestellt wird. Dieses Verfahren scheint sehr gut zu funktionieren. Vor allem passt das Ergebnis der Flimmerphotometrie zur Verteilung der M- und L-Zapfen im Auge. Es ergibt sich eine Zwischengröße V, die später in Y umgerechnet wird:

→ V(λ) = 1,9806 × L(λ) + M(λ)

Um nun auf Y(λ) zu kommen, suchen wir einfach den Maximalwert von V(λ) heraus. Dieser liegt bei 555 nm und beträgt 2,8709 (wegen der diskreten Auftragung erhalte ich in MATLAB 2,8703). Wir teilen die beiden Vorfaktoren durch diesen Maximalwert und erhalten dann:

→ Y(λ) = V(λ)/2,8703 = 0,689 × L(λ) + 0,348 × M(λ)

Aber warum nehmen wir hier einfach den Maximalwert bei 555 nm? Reine Konvention auf der aber einige an weiteren Messtechniken beruhen. Außerdem hängen an dieser nun auch die nächsten Normierungen für Z und X. Das werde ich aber genauer erklären.

Implizit sagt diese Gleichung auch aus, dass es im Mittel ca. doppelt so viel L-Zapfen wie M-Zapfen gibt, jedoch mit starker Variation zwischen verschiedenen Probanden. Starke Variation bedeutet, dass es Menschen gibt mit ca. halb so vielen L-Zapfen und welche mit ca. 13-mal so vielen L-Zapfen.

Blau = Z

An den Zapfenempfindlichkeiten sieht man, dass der S-Zapfen, der hauptsächlich blaues Licht sieht, im Spektrum deutlich von den M- und L-Zapfen separiert ist. Es lässt sich vermuten, dass gerade die Blausicht hauptsächlich durch die Aktivierung dieses Zapfens bestimmt wird. Um das zu illustrieren drehen wir die Punktwolke so, dass wir auf die von S und L aufgespannte Ebene schauen. Es ist auch möglich diese starke Blauseparation mit dem Blick auf die S-M Ebene zu sehen, es sieht nahezu identisch aus.

Entlang der L-Achse, bei S=0, liegen die Farben rot bis gelb. Grün liegt zwischen 0 < S < 0,1. Der Bereich größer 0,1 zeigt nur noch blau-türkis Töne.

Dieser Blauwert, die Aktivierung des S-Zapfens, wird ab jetzt durch Z beschrieben.

→ Z(λ) = s_z × S(λ)

Die Berechnung der Vorfaktoren ist gewöhnungsbedürftig hat aber einen tieferen Sinn. Man nähme an, es gäbe eine Lichtquelle, die über alle Wellenlängen die gleiche Intensität habe. Genau diese Lichtquelle solle bitte, im noch zu konstruierenden xy-Diagramm, genau bei x = y = 1/3 liegen. Um dieses zu erreichen, wählen wir folgende Rechenvorschrift:

1. Es wird das Integral/Summe über die eben berechnete Funktion Y über den gesamten Wellenlängenbereich berechnet → s_y = ∫Y(λ)dλ ⁓ ∑Y
2. Es wird das Integral/Summe über die vorliegenden S-Werte über den gesamten Wellenlängenbereich berechnet → ∫S(λ)dλ ⁓ ∑S
3. Der Vorfaktor ist dann → s_z = ∑Y / ∑S = 113,04/58,42 = 1,934. Damit ist ∑Z = ∑Y.

Der Rest = X

Da der Ursprungsraum drei Dimensionen hat, sollte der neue Raum auch drei Dimensionen haben. Leider gibt es keine physiologischen Entsprechungen, die man messen könnte, um diesen Vektor zu erzeugen. Es gibt sehr viele, nämlich unendlich viele Möglichkeiten, diesen Vektor zu erzeugen.

Der X-Wert ist eine Linearkombination der S-, M- und L-Zapfen.

→ X(λ) = a × L(λ) + b × M(λ) + c × S(λ)

Hier haben wir nun nicht einen oder zwei Werte, sondern drei und keine physiologischen Messungen. Es wird spannend! Wegen der unendlichen Möglichkeiten müssen wir Kriterien festlegen, durch die die unendlichen Möglichkeiten auf genau eine reduziert werden:

1. die Länge des Vektors können wir auch nachher noch bestimmen, also a = 1, und
2. die Normfarbtafel im neuen Koordinatensystem soll für alle drei Dimensionen niemals kleiner als Null sein, und
3. die Wahl der Achsen soll die graue Fläche der theoretischen Farben minimieren.

Zwei kurze Bemerkungen. Was wir gerade machen ist die Rechenvorschrift um von den Zapfenaktivierungen LMS auf ein neues Koordinatensystem XYZ zu kommen. Um die Basisvektoren des XYZ Koordinatensystems zu konstruieren, müssen wir erst die Rechenvorschrift um nach X zu kommen finden und können dann die resultierende Matrix invertieren.

Die nächste Abbildung zeigt nur zur Veranschaulichung welche Ebenen ich meine. Das sind zwei Ebenen, die zumindest die erste Bedingung erfüllen, aber noch nicht die graue Fläche minimiert. Zur Orientierung was die Normalenvektoren dieser beiden Ebenen sind: n₁ = [1,3 -0,8 0,2] und n₂ = [1 -0,7 0,7], also S und L Werte positiv und der M Wert negativ. Da die Länge des Normalenvektors für die Definition der Ebene egal ist, können wir auch den ersten Wert auf 1 festlegen und nur noch M und L variieren. Das macht aber MATLAB für uns und es entsteht die dritte Ebene (nun in einer farbigen Darstellung)

Nach fünf Sekunden Arbeit spuckt MATLAB den Normalenvektor der unbekannten Ebene mit den zwei Eigenschaften aus: n_x = [1 -0,7261 0,1768].

Wie für den blauen Kanal muss der Wert noch nach der selben Konvention wie Y und Z normiert werden, nämlich Summe über X soll der Summe über Y entsprechen.

1. Werden die L-Werte mit dem ersten Wert, also n_x,L, der M-Wert mit n_x,M und entsprechend der S-Wert mit n_x,S multipliziert
2. Alle LMS-Werte werden aufsummiert. → ∑X
3. Die Summe s_y = ∑Y kennen wir schon.
4. Der Vorfaktor ist dann → s_x = s_y / ∑X = 113,04 / 57,452 = 1,9676

Damit folgt dann für die letzte fehlende Zeile

→ X(λ) = 1,9676 × L(λ) - 1,4287 × M(λ) + 0,3478 × S(λ)

Damit seien nun alle drei Normierungen festgelegt. Dies geschah mit drei verschiedenen Bedingungen: bei Y sei das photometrische Maximum das Maß für unsere Entscheidung; bei Z und X wähle man das wahre Mittelmaß. Wer weise wählt bekommt das wahre weiß bei exakt einem dritteil.

Ebenen und Basisvektoren

Bisher ist das noch alles etwas unanschaulich. Das kommt meiner Meinung nach daher, dass wir nicht die Richtung bestimmen, in der sich das wahrgenommene Phänomen (Helligkeit, Blauwert, ...) ändern, sondern die Flächen, oder Bereiche im Diagramm, bei denen diese Eigenschaften als konstant angenommen werden. Wenn sich nur diese Eigenschaft ändert, macht sich das so bemerkbar, dass wir eine der drei Ebenen verschieben. Da Ebenen per Definition unendlich groß sind, ist es egal, wie wir diese verschieben. Eine Änderung des wahrgenommenen Phänomens wird nur durch die Verschiebung mit einer Komponente in Normalenrichtung, also senkrecht zur Ebene erzeugt. Man kann die Ebene auch schräg, diagonal, what ever, verschieben; nur der senkrechte Teil ändert die Wahrnehmung.

Diese Erkenntnis hat bei mir etwas gedauert, hat aber für das Verständnis enorm geholfen. Denn jetzt können wir gedanklich X(λ), Y(λ) und Z(λ) von den Basisvektoren e_X, e_Y und e_Z trennen. Die Vektoren, die die Ebenen definieren, nennen wir jetzt zur Vereinfachung

• die Koeffizienten von X(λ) definieren die Ebene bei X=0 → a_X,
• die Koeffizienten von Y(λ) definieren die Ebene bei Y=0 → a_Y,
• die Koeffizienten von Z(λ) definieren die Ebene bei Z=0 → a_Z,

und diese repräsentieren hierbei die Quasi-Normalenvektoren der Ebenen, wobei e_X, e_Y und e_Z die Basisvektoren sind, die das neue Koordinatensystem aufspannen. Diese liegen in den Schnittgeraden der Ebenen.

Ein wichtiger Einwurf. Wenn man mal Diagramme mit Koordinatensystemen in Zeitschriften oder auf Webseiten angeschaut hat, dann stehen (grobe Schätzung) 99,999% der Achsen senkrecht aufeinander. Auch ich zeige die L-, M- und S-Achsen orthogonal zueinander. Erstens: irgendwie muss man das ja zeichnen und zweitens: welches Programm erstellt nicht-orthogonale Diagramme? Das ist also nur eine möglichst einfache, bekannte Darstellungsweise.

Im LMS-Raum gibt es keine Winkel und keine Längen. Es werden Aktivierungen von verschiedenen farbempfindlichen Photozellen dargestellt. Diese stehen nicht senkrecht aufeinander und es gibt auch keinen Winkel zwischen 4000 S-Zapfen haben eine leichte Erregung durch türkises Licht und 100000 M-Zapfen melden ein starkes Signal durch oranges Licht. Wie viele S-Zapfen braucht man um die selbe L-Zapfen-Aktivierung zu erhalten und welche Einheit hat das?

Für die Herangehensweise ist das egal. Wir bestimmen Ebenen, bei denen eine physiologische Messgröße konstant bleib; Helligkeit, Blauwert. Diese Eigenschaften sind unabhängig davon, wie man die Koordinatensysteme zeichnet. Wenn ich in diesem Text irgendwo „senkrecht zur Ebene" geschrieben habe, ist damit nur gemeint: weg von der Ebene, nicht in ihr.

Ich schreibe oben und auch gleich weiter unten was von „Quasi-Normalenvektoren“. Für mathematisch Interessierten: diese kommen aus der linearen Algebra und werden dort als Kovektoren bezeichnet. Die Basisvektoren e_X, e_Y und e_Z sind deren duale Basis. Den Rest findet man auf Wikipedia:

• Die Zeilen von A beschreiben Ebenen und
• die Spalten von A⁻¹ beschreiben Achsen.

Bei der Bestimmung der X=0 Ebene habe ich ja bereits die LMS-Struktur mit eben der Ebene gezeigt, für die X=0 gilt. Das will ich nun für alle drei Ebenen als Animation zeigen. Dann werden die weiteren Schritte deutlich einfacher zu verstehen.

Um einen Gedankenknick direkt auszuschließen: an den Geraden, wo sich die Ebenen schneiden, da liegen genau die Basisvektoren e_X, e_Y und e_Z des neuen Koordinatensystems. Genau da lag auch meine Verwirrung. Wir berechnen aus physiologischen Messungen, der spektralen Separation der S-Zapfen und einer recht willkürlichen Annahme, dass die Fläche maximal, und damit die graue Fläche minimal werden soll, drei verschiedene Ebenen. Um das auf unsere vorhergehende Überlegung zu beziehen sind a_X, a_Y und a_Z, wie schon gesagt, die Quasi-Normalenvektoren in einem angenommenen orthonormalen Koordinatensystem, was so zu einfach ist, aber funktioniert.

Beispiel: die Ebene mit der Eigenschaft der Helligkeit ist in der Animation die aufrecht-stehende, schmale Ebene. Wenn ich diese nun immer weiter in Richtung der grün-gelben Punkte schiebe (nicht drehen), schneidet diese Ebene Farbwerte, die nach der Flimmerphotometrie gleich hell sein sollten.

Damit ihr mir das auch glaubt, habe ich die selben, jetzt Ebenen, auch in den 3D Plot eingetragen.

Es ist gut erkennbar, dass die Schnitte der Ebenen der Zapfenaktivierung genau das 2D Diagramm darüber ergeben. Dieses Spiel könnten wir für die anderen beiden Dimensionen X und Z auch noch machen, aber es wird nicht mehr viel für das Verständnis bringen. Dafür wird der nächste Schritt mehr Erkenntnis bringen.

Transformation LMS → XYZ → xy

Ich weiß, das war viel. Ich habe auch einige Zeit gebraucht, um mir diesen Vorgang verständlich zu machen. Aber fangen wir vorne mit der vollständigen Matrix an. Diese nennen wir ab jetzt A.

Um die Basisvektoren zu bestimmen berechnen wir die Inverse der zusammengesetzten Matrix:

Das nächste Bild zeigt nun normierte Werte der Zapfenaktivierungen zusammen mit den frisch bestimmten Basisvektoren des XYZ Koordinatensystems.

Ab jetzt sieht man schon deutlich die Gemeinsamkeiten zwischen der Normfarbtafel und unserer Abbildung. Nochmal zur Erinnerung: die Normfarbtafel hat nur die x und y Dimension und die »Farben« liegen alle in einem Dreieck das zwischen 0, e_x und e_y aufgespannt ist. In dem nachfolgenden Bild ragt der rote Bereich aus diesem Dreieck heraus.

Diese obige Abbildung zeigt die Zapfenerregung noch im LMS-Koordinatensystem. Transformieren wir das erstmal ins XYZ-Koordinatensystem, mit:

Diese Aktion ist erstmal nur eine Verzerrung der Achsen und sieht noch nicht so dolle aus.

Für eine richtige Darstellung müssen die transformierten Werte noch normiert werden und die redundante Dimension $z$ herausschmeißen.

Damit erstrahlt die Normfarbtafel in voller Pracht!

Unterschied zum offiziellen Wert

Ja ja. Diese Herangehensweise ist ja nur mein Weg und nicht der, den die CIE gegangen ist. Die Y und Z Zeilen sind gleich, jedoch hat die CIE diese, sich anlegende Ebene anders definiert. Diese hat einen kleinen Abstand zum Wert x=0. In meiner Version berührt die Farbkurve die y-Achse beinahe. Beinahe, da die Wellenlängenauflösung diskret ist und Rundungsfehler vorkommen.

Der größte Abstand zwischen der CIE und mir liegt bei der Wellenlänge 479 nm mit 0,0066. Wenn diese Abbildung im Originalmaßstab skaliert werden würde, dann fiele dieser Unterschied nicht auf.

Die LMS Matrix in der CIE lautet wie folgt

und weicht damit nur in der X-Zeile um bis zu 5% in der ersten Zeile von meinen Werten ab. Damit liegt die Ebene einen Nanometer später an der Farbtafel an und hat einen kleinen Abstand, mehr nicht.

Fazit

Was haben wir nun gelernt?

1. Die CIE Normfarbtafel ist nicht naturgegeben, sondern ein Resultat der Festlegung, dass die Fläche der theoretischen Farben minimiert werden soll. Wir erhalten am Ende, dass die reellen Farben 65,5% der Fläche des gesamten Dreiecks ausfüllen.
2. Es ist erstaunlich kompliziert von den Augensensitivitätskurven auf die bekannte xy-Darstellung zu kommen.
3. Es sind noch einige Fragen offen: die Purpurlinie, die »Farbe« Weiß, andere Zapfenarten.