Ich mache gerne Gedankenexperimente. Um nicht nur im Internet ein wenig Sudoku zu »zocken«, habe ich mir ein gebrauchtes Buch gekauft. So richtig aus Papier zum Umblättern. Der Titel war irgendetwas mit Gedächtnistraining. Das Cover sah annehmbar aus, was kann da schon schiefgehen? Vieles! Schon das allererste Rätsel im Buch hat mich etwas ratlos zurückgelassen.

Die Aufgabe

Die ersten beiden Wippen sind perfekt ausbalanciert. Wie viele Dreiecke (blaue Kisten in meiner Darstellung) müssen auf der linken Seite der dritten Wippe platziert werden, so dass diese auch perfekt ausbalanciert ist? Um es anschaulicher darzustellen, als dieses schlechte Foto, habe ich das Bild neu gezeichnet und versucht, die Proportionen so gut wie möglich darzustellen.

Fangen wir mal mit der Lösung an, die das Buch gerne sehen würde. 🟨 steht für die gelbe Kiste, 🟥 für die rote Kiste und 🟦 – ihr könnt es ahnen – für die blaue.

Erste Wippe

3🟨 + 1🟥 + 3🟦 = 1🟨 + 2🟦 + 3🟥
wir ziehen auf beiden Seiten 1🟨, 2 🟦 und 1🟥 ab.
2🟨 + 1🟦 = 2🟥

Zweite Wippe

1🟨 + 1🟥 + 3🟦 = 1🟨 + 2🟥
wir ziehen auf beiden Seiten 1🟨 und 1🟥 ab.
3🟦 = 1🟥

Wir wissen also, dass eine rote Kiste so schwer ist, wie drei blaue Kisten und setzen diese Erkenntnis bei Wippe 1 ein. Dann ergibt sich:

2🟨 + 1🟦 = 6🟦
wir ziehen auf beiden Seiten 1🟦 ab.
2🟨 = 5🟦
Beide Seiten mal drei nehmen
6🟨 = 15🟦

Die gewünschte Lösung ist also 15 blaue Kisten!

Die richtige Lösung

In der Beschreibung wird der Begriff für dieses Konstrukt „scale“ – also Waage – genannt. Für mich sieht es eher aus, wie eine Wippe. Auf jeden Fall, macht es den Anschein, als müssten wir hier eigentlich noch den Hebelarm der jeweiligen Gewichte berücksichtigen. Hierbei ist das Drehmoment gleich der Gewichtskraft mal dem Abstand vom Drehpunkt. Die Entfernungen habe ich so gut wie ich es konnte in die Zeichnung eingetragen.

Erste Wippe

6🟨 + 5,5🟨 + 5🟨 + 4🟦 + 3🟦 + 2🟦 + 2,5🟥 = 1🟨 + 2🟦+ 3🟦 + 4🟥 + 5🟥 + 6🟥
16,5🟨 + 9🟦 + 2,5🟥 = 1🟨 + 5🟦 + 15🟥
wir ziehen auf beiden Seiten 1🟨, 5🟦 und 2,5🟥 ab.
15,5🟨 + 4🟦 = 12,5🟥

Zweite Wippe

6🟨 + 5🟥 + 4🟦 + 3🟦 + 2🟦 = 4🟨 + 5🟥 + 6🟥
wir ziehen auf beiden Seiten 1🟨 und 1🟥 ab.
6🟨 + 5🟥 + 9🟦 = 4🟨 + 11🟥
wir ziehen auf beiden Seiten 4🟨 und 5🟥 ab.
2🟨 + 9🟦 = 6🟥
wir multiplizieren mit 12,5/6
25/6🟨 + 112,5/6🟦 = 12,5🟥

Den Kram setzen wir in die erste Wippe ein. Wir erweitern die linke Seite von Wippe 1 um 6, dann wird es einfacher:

93/6🟨 + 24/6🟦 = 25/6🟨 + 112,5/6🟦 à jetzt können wir die /6 auch weglassen
93🟨 + 24🟦 = 25🟨 + 112,5🟦 à wir ziehen auf beiden Seiten 25🟨 und 24🟦 ab.
68🟨 = 98,5🟦

Dritte Wippe

5🟨 + 4,5🟨 + 2x4🟨 + 3,5🟨 + 3🟨 = 24🟨 = ?

Aus der vorhergehenden Berechnung kennen wir ja schon den Zusammenhang zwischen Blau und Gelb

24🟨 = 34,7647…🟦

Eine Lösung wäre also 34,7… blaue Kiste an die erste Position zu stellen. Da ich nicht davon ausgehe, dass die Kisten beliebig umgepackt werden können, wäre es sinnvoller eine andere Verteilung zu wählen. Da es aber kein eindeutiges Kriterium gibt, und wir auch nicht wissen, ob wir auch andere Positionen als »halbe Stellen« zu wählen nehmen wir mal drei Bedingungen:

Lösung mit den wenigsten Kisten
Genaue Lösung mit beliebigen Positionen
Lösung die am nächsten dran ist, wenn man nur »halbe Stellen« verwenden kann

Zu 1: Die Lösung mit den wenigsten Kisten

Das ist relativ einfach. Gemäß Hebelarm, ist es am »effektivsten«, wenn wir alle Kisten ganz nach außen auf die 6 stellen. Damit sind es dann:

· 34,7647… / 6 ~ 5,7941… Kisten, also etwas weniger als 6 Kisten

Es kommt die erste Frage auf. Können wir Kisten teilen? Keine Ahnung.

Zu 2: Die exakte Lösung

Also suchen wir die Position, in der eine ganze Zahl an Kisten benötigt wird. Weiter nach außen geht nicht, also suchen wir nach dem Abstand, in dem genau 6 Kisten benötigt werden. Das wir einfach, denn die Lösung steckt eh schon in der oberen Rechnung.

34,7647… / 5,7941… = 6

Es kommt die nächste Frage auf. In der Abbildung stehen Kisten immer auf geraden oder halben Stellen. Dürfen wir Kisten überhaupt auf diese Position stellen? Keine Ahnung.

Zu 3: Die Lösung, die am nächsten dran ist

Die genauste Lösung, mit halben Stellen und ganzen Kisten ist, wenn wir alles auf 0,5 Stellen:

98,5/68242 = 69,5294…
Das muss nun gerundet werden
70 blaue Kisten auf die Position 0,5

Um es etwas übersichtlicher zu machen versuchen wir noch so viele Kisten auf die weiter entfernten Plätze zu stellen.

5 blaue Kisten auf die Position 6
Auf dieser Position hat die Kiste 12 mal mehr Drehmoment als auf der Position 0,5. Also 5 * 12 = 60.
Damit haben wir noch 10 Kisten auf der Stelle 0,5
1 blaue Kiste auf die Position 5
Auf dieser Position hat die Kiste 10 mal mehr Drehmoment als auf der Position 0,5

Damit sind alle Kisten verteilt.

Bei dieser Aufteilung machen wir einen Fehler im Gewicht von 0,68%. Ob die Wippe/Waage so genau ist, ist leider nicht in der Aufgabenstellung angegeben 😉.

Fazit

Diese Ungenauigkeit zieht sich durch das ganze Buch. Es gibt »Rätsel« ohne Lösung und welche mit mehreren Lösungen. Diese Fragestellung habe ich einfach mal zu Spaß durchexerziert. Die einfache Lösung wäre eh mein erster Schritt. Insgesamt bin ich der Meinung, dass das das Buch vollkommen ungeeignet ist.